Ctg x + 4/ctg x + 5=0

1. Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения, умножив равенство на ctgx ≠ 0:

сtgx + 4/ctgx + 5 = 0;

сtg²x + 5ctgx + 4 = 0;

2. Выполним замену ctgx = у:

у² + 5 у + 4 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = 5² - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9;

D › 0, значит:

у1 = ( - b - √D) / 2a = ( - 5 - √9) / 2 * 1 = ( - 5 - 3) / 2 = - 8 / 2 = - 4;

у2 = ( - b + √D) / 2a = ( - 5 + √9) / 2 * 1 = ( - 5 + 3) / 2 = - 2 / 2 = - 1;

3. Тогда, если у1 = - 4, то:

ctgx = - 4;

х = arcctg ( - 4) + πn, n ∈ Z;

х1 = π - arcctg (4) + πn, n ∈ Z;

если у2 = - 1, то:

х = arcctg ( - 1) + πn, n ∈ Z;

х2 = π - arcctg (1) + πn, n ∈ Z;

х2 = π - π/4 + πn, n ∈ Z;

х2 = 3π/4 + πn, n ∈ Z;

Ответ: х1 = π - arcctg (4) + πn, n ∈ Z, х2 = 3π/4 + πn, n ∈ Z.