1. а) (sin a+cos a) ^2 - 2 sin a cos aб) tg a + ctg a, если sin a cos a = 0,42. Найдите все такие углы альфа для каждого из которых выполняется равенство: а) sin a = √3/2 б) cos a = - √2/2 в) tg a = √3 г) ctg a = - 13. а) tg^2a + ctg^2a, если tg a + ctg a=3 б) 3sina - 4cosa/5sina+6cosa, если tga=-36. Вычислите arcsin a √2/2 - arccos 0 + arctg √3 / arctg √3/3

1 задание.

а) Раскроем скрбки по формуле квадрата суммы:

(sina + cosa) ² - 2sinacosa = sin²a + 2sinacosa + cos²a - 2sinacosa = sin²a + cos²a.

Так как sin²a + cos²а = 1, то значение выражения равно 1.

Ответ: (sina + cosa) ² - 2sinacosa = 1.

б) tga + ctga = sina/cosa + cosa/sina = (sin²a + cos²a) / (sina * cosa) = 1 / (sina * cosa).

Так как sina * cosa = 0,42, получается 1 / (sina * cosa) = 1 : 0,42 = 1 * 100/42 = 50/21.

2 задание.

а) sina = - √2/2.

a = (-1) ^{(n + 1)} * П/4 + Пn, n - целое число.

б) tga = - √3.

a = - П/3 + Пn, n - целое число.

в) cosa = 1/2,

a = ±П/3 + 2 Пn, n - целое число.

г) ctga = 1.

а = П/4 + Пn, n - целое число.

3 задание.

а) tga - ctga = 3.

Возведем обе части в квадрат:

(tga - ctga) ² = 3².

tg²a - 2 * tga * ctga + ctg²a = 9.

Так как tga * ctga = 1, то tg²a - 2 + ctg²a = 9.

tg²a + ctg²a = 9 + 2.

tg²a + ctg²a = 11.

б) (3sina - 4cosa) / (5sina + 6cosa), если tga = - 36.

Поделим все на cosa (ОДЗ: cosa не равен 0).

(3sina/cosa - 4cosa/cosa) / (5sina/cosa - 6cosa/cosa) = (3tga - 4) / (5tga + 6) = (3 * (-36) - 4) / (5 * (-36) + 6) = (-112) / 174 = - 56/87.

4 задание.

arcsin (√2/2) = П/4;

arccos (0) = П/2;

arctg (√3) = П/3;

arctg (√3/3) = П/6.

(arcsin (√2/2) - arccos (0) + arctg (√3)) / arctg (√3/3) = (П/4 - П/2 + П/3) / (П/6) = (3 П/12 - 6 П/12 + 4 П/12) / (П/6) = П/3 : П/6 = П/3 * 6/П = 2.