Даны вершины треугольника АВС. A (-1,7) : В (2,3) : С (0,-2). Найти: 1) длину стороны АВ 2) уравнение сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты 3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01 4) уравнение высоты СD и её длину 5) уравнение окружности для которой высота СD есть диаметр 6) систему линейных неравенств определяющих треугольник АВС

1) длина стороны AB считается по формуле √ ((x₂-x₁) ² + (y₂-y₁) ²)

подставлять надо координаты точек A (x₁=-2, y₁=1) и B (x₂=6, y₂=-5)

2) уравнение прямой через две точки в общем виде

(y-y₁) (x₂-x₁) = (x-x₁) (y₂-y₁)

подставляешь те же координаты точек находишь уравнение (для прямой AB)

8 (y-1) = 6 (x+2)

Раскрываешь скобки и выражаешь y

y = (6x+20) / 8=3/4 x + 5/2

угловой коэффициент это коэффициент k в уравнении прямой в виде y=k x+b

для стороны AB: y = 3/4 x + 5/2, угловой коэффициент (при x) k = 3/4

для AC всё аналогично

3) Медиана, проведенная из вершины A проходит через точку A и середину D противоположной стороны BC

Координаты середины отрезка находятся по формулам

x = (x₁+x₂) / 2, y = (y₁+y₂) / 2

Для нахождения координат точки D нужно подставлять в формулы координаты точек B (x₁=6, y₁=-5) и С (x₂=8, y₂=4)

Когда координаты точки D найдены, уравнение медианы AD составляем по двум точкам A и D тем же методом, что использован для составления уравнения стороны AB

Аналогично составляется уравнение медианы BE

Точка пересечения медиан является общей точкой медиан, поэтому её координаты - решение системы уравнений, в которую входят уравнения двух медиан.

То есть пишем уравнения медиан AD и BE и решаем как систему, найденное решение и есть координаты точки пересечения медиан

4) Чтобы найти угол в вершине, можно использовать теорему косинусов или скалярное произведение векторов AB·AC

cos (A) = (AB·AC) / (|AB||AC|)

5) Чтобы составить уравнение высоты CT, нужно учесть, что она проходит через C и перпендикулярна прямой AB

AB: y = 3/4 x + 5/2

угловой коэффициент перпендикулярной прямой будет - 1/k=-1 / (3/4) = -4/3

Значит уравнение прямой CT имеет вид y = - 4/3 x + b

Чтобы найти значение свободного члена b в уравнении этой прямой используем то, что она проходит через C

4 = - 4/3 · 8 + b, отсюда находим b

6) Координаты точки T находятся как координаты точки пересечения прямых CT и AB (из системы уравнений этих двух прямых)

Так как AT⊥CT, то точка M это такая точка, что точка T является серединой отрезка AM

Отсюда можно найти координаты точки M через формулы координаты середины отрезка.