Вычислите площадь фигуры ограниченной линией y=2x^2 и y=x+1

Найдем точки пересечения, заданных функций, для этого приравняем их уравнения друг к другу:

2x^2 = x + 1;

2x^2 - x - 1 = 0;

x12 = (1 + - √ (1 - 4 * 2 * (-1)) / 2 * 2 = (1 + - 3) / 4;

x1 = 1; x2 = - 1/2.

Тогда площадь фигуры S будет равна разности интегралов:

S = ∫ (x + 1) * dx|-1/2; 1 - ∫2x^2 * dx|-1/2; 1 = (1/2 * x^2 + x) |-1/2; 1 - 2/3 * x^3|-1/2; 1 = (3/2 - 3/8) - (-2/3 + 2/8) = 9/8 - (-2/24) = 27/24 + 2/24 = 29/24.

Ответ: искомая площадь, образованная заданными линиями, равна 29/24.