Производные f (x) = x³ / (x²-2x-8)

Найдём производную данной функции: f (x) = x^3 / (x^2 - 2x - 8).

Воспользовавшись формулами:

(x^n) ' = n * x^ (n-1) (производная основной элементарной функции).

(с) ' = 0, где с - const (производная основной элементарной функции).

(с * u) ' = с * u', где с - const (основное правило дифференцирования).

(u + v) ' = u' + v' (основное правило дифференцирования).

(u / v) ' = (u'v - uv') / v² (основное правило дифференцирования).

И так, найдем поэтапно производную:

1) (x^3) ' = 3 * х^ (3-1) = 3 * х^2 = 3 х^2;

2) (x^2 - 2x - 8) ' = (x^2) ' - (2x) ' - (8) ' = 2 * x^ (2 - 1) - (2 * 1 * x^ (1 - 1) - 0 = 2x^1 - 2x^0 = 2x - 2.

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

f (x) ' = (x^3 / (x^2 - 2x - 8)) ' = ((x^3) ' * (x^2 - 2x - 8) - (x^3) * (x^2 - 2x - 8) ') / (x^2 - 2x - 8) ^2 = (3 х^2) * (x^2 - 2x - 8) - (x^3) * (2x - 2)) / (x^2 - 2x - 8) ^2 = (3 х^4 - 6 х^3 - 24 х^2 - 2 х^4 + 2 х^3) / (x^2 - 2x - 8) ^2 = (х^4 - 4 х^3 - 24 х^2) / (x^2 - 2x - 8) ^2.

Ответ: f (x) ' = (х^4 - 4 х^3 - 24 х^2) / (x^2 - 2x - 8) ^2.