Решите уравнения: 1) 4cos^2x-1=0 2) 2sin^2x-5cosx+1=0 3) 1+2sin2x+2cos^2x=0

1). 4cos^2 x - 1 = 0;

4cos^2 x = 1;

cos^2 x = 1/4;

cos x = ± √1/4;

cos x = ± 1/2;

x = ± arcos (± 1/2) + 2 Пn, n ϵ Z;

x1 = ± П/3 + 2 Пn, n ϵ Z;

x2 = ± 2 П/3 + 2 Пn, n ϵ Z;

Ответ. ± П/3 + 2 Пn, n ϵ Z; ± 2 П/3 + 2 Пn, n ϵ Z;

2) 2sin^2 x - 5cos x + 1 = 0 - заменим sin^2 x на (1 - cos^2 x);

2 (1 - cos^2 x) - 5cos x + 1 = 0;

2 - 2cos^2 x - 5cos x + 1 = 0;

- 2cos^2 x - 5cos x + 3 = 0;

введем новую переменную cos x = y;

- 2y^2 - 5y + 3 = 0;

2y^2 + 5y - 3 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = 5^2 - 4 * 2 * ( - 3) = 25 + 24 = 49; √D = 7;

x = ( - b ± √D) / (2a);

y1 = ( - 5 + 7) / 4 = 2/4 = 1/2;

y2 = ( - 5 - 7) / 4 = - 12/4 = - 3.

Выполним обратную подстановку:

1. cos x = 1/2;

x = ± arcos (1/2) + 2 Пn, n ϵ Z;

x1 = ± П/3 + 2 Пn, n ϵ Z;

2. cos x = - 3 - область значений функции косинуса [ - 1; 1], число 3 не принадлежит этому промежутку, поэтому уравнение не имеет корней.

Ответ. ± П/3 + 2 Пn, n ϵ Z;

3) 1 + 2sin 2x + 2cos^2 x = 0 - преобразуем sin 2x = 2 sin x * cos x; 1 = sin^2 x + cos^2 x;

sin^2 x + cos^2 x + 2 * 2 sin x * cos x + 2 cos^2 x = 0;

sin^2 x + 4sin x * cos x + 3 cos^2 x = 0 | : cos^2 x;

tg^2 x + 4 tg x + 3 = 0;

введем новую переменную tg x = y;

y^2 + 4y + 3 = 0;

D = 4^2 - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4; √D = 2;

y1 = ( - 4 + 2) / 2 = - 2/2 = - 1;

y2 = ( - 4 - 2) / 2 = - 6/2 = - 3.

Выполним обратную подстановку:

1. tg x = - 1;

x = - П/4 + Пk, k ϵ Z;

2. tg x = - 3;

x = arctg ( - 3) + Пk, k ϵ Z.

Ответ. - П/4 + Пk, k ϵ Z; arctg ( - 3) + Пk, k ϵ Z.