докажите что для любой арифметической прогрессии справедливо соотношение: 1) а13-а3=10d 2) An+10 - A10 = nd

Обозначим через a1 первый член арифметической прогрессии.

1) Выразим третий а3 и тринадцатый а13 члены арифметической прогрессии через а1 и разность процессии d:

a3 = a1 + 2 * d;

a13 = a1 + 12 * d.

Находим разность а13 и а3:

а13 - а3 = a1 + 12 * d - (a1 + 2 * d) = a1 + 12 * d - a1 - 2 * d = 10 * d,

что и требовалось доказать.

2) Выразим n+10-й аn+10 и десятый а₁₀ члены арифметической прогрессии через а1 и разность процессии d:

a_n+10 = a1 + (n + 10 - 1) * d;

a₁₀ = a1 + 9 * d.

Находим разность an+10 и a10:

a_n+10 - a₁₀ = a1 + (n + 9) * d - (a1 + 9 * d) = a1 + nd + 9d - a1 - 9d = nd,

что и требовалось доказать.