1. Разложите на множители а) b (b+1) - 3 (b+1); б) ca-cb+2a-2b. 2. упростите выражение (a^2-b^2) (2a+b) - ab (a+b). 3. докажите тождество (x-3) (x+4) = x (x+1) - 12. 5. ширина прямоугольника вдвое меньше его длины. Если ширину увеличить на 3 см, а длину на 2 см, то площадь его увеличиться на 78 см^2. найдите длину и ширину этого прямоугольника.

1. a) Вынесем за скобки общий множитель (b + 1).

b (b + 1) - 3 (b + 1) = (b + 1) (b - 3).

б) Вынесем за скобки общий для первого и второго слагаемого множитель c, общий для третьего и четвертого слагаемого множитель 2.

ca - cb + 2a - 2b = с (a - b) + 2 (a - b).

Вынесем за скобки общий множитель (a - b).

(a - b) (c + 2).

2. Преобразуем выражение (a^2 - b^2) по следующей формуле сокращенного умножения: (a + b) (a - b) = a^2 - b^2.

(a^2 - b^2) (2a + b) - ab (a + b) = (a + b) (a - b) (2a + b) - ab (a + b).

Вынесем за скобки общий множитель (a + b).

(a + b) ((a - b) (2a + b) - ab).

Перемножим двучлены (a - b) и (2a + b). Для этого каждое слагаемого первого двучлена поочередно умножим на каждое слагаемого второго, результаты сложим с учетом знаков.

(a + b) (2a^2 + ab - 2ab - b^2 - ab).

Приведем подобные слагаемые.

(a + b) (2a^2 - 2ab - b^2).

3. Перемножим двучлены (x - 3) и (x + 4), приведем подобные слагаемые.

(x - 3) (x + 4) = x^2 + 4x - 3x - 12 = x^2 + x - 12.

Раскроем скобки в правой части равенства, умножая x на каждое слагаемое в скобках.

x (x + 1) - 12 = x^2 + x - 12.

Сравним преобразованные части равенства.

x^2 + x - 12 = x^2 + x - 12, значит, (x - 3) (x + 4) = x (x + 1) - 12.

4. Обозначим ширину прямоугольника переменной x, тогда его длина составит 2x (см).

Найдем площадь прямоугольника.

S1 = 2x * x = 2x^2 (см^2).

Найдем его площадь после того, как длину увеличили на 2 см, а ширину - на 3 см.

S2 = (2x + 2) (x + 3) = 2x^2 + 6x + 2x + 6 = 2x^2 + 8x + 6.

По условию задачи составим и решим уравнение.

2x^2 + 78 = 2x^2 + 8x + 6.

Перенесем 2x^2 и 78 из левой части уравнения в правую, а 8x - из правой в левую, приведем подобные слагаемые.

-8x = 2x^2 + 6 - 2x^2 - 78;

-8x = - 72.

Найдем ширину прямоугольника.

x = - 72 / (-8);

x = 9 (см).

Найдем длину.

2x = 2 * 9 = 18 (см).