Найдите все целые n, при которых 19n+7/7n+11 - целое число

1. Преобразуем дробь:

f (n) = (19n + 7) / (7n + 11) = (21n + 33 - 2n - 26) / (7n + 11) = 3 - (2n + 26) / (7n + 11).

Дробь g (n) = (2n + 26) / (7n + 11) либо равна нулю:

2n + 26 = 0; 2n = - 26; n = - 13,

либо неправильная:

|2n + 26| ≥ |7n + 11|.

Корни двучленов: n1 = - 13; n2 = - 11/7 = - 1 4/7.

2. Рассмотрим промежутки:

1) n ∈ (-∞; - 13);

- (2n + 26) ≥ - (7n + 11); - 2n - 26 ≥ - 7n - 11; 5n ≥ 15; n ≥ 3 - нет решений.

2) n ∈ [-13; - 1 4/7];

(2n + 26) ≥ - (7n + 11); 2n + 26 ≥ - 7n - 11; 9n ≥ - 37; n ≥ - 37/9 = - 4 1/9; n ∈ [-4 1/9; - 1 4/7].

3) n ∈ (-1 4/7; ∞);

(2n + 26) ≥ (7n + 11); 2n + 26 ≥ 7n + 11; 5n ≤ 15; n ≤ 3; n ∈ (-1 4/7; 3].

Объединение решений:

n ∈ [-4 1/9; 3].

3. Данному промежутку принадлежат 8 целых чисел, при трех из которых получим целое значение дроби:

g (n) = (2n + 26) / (7n + 11); g (-4) = (-8 + 26) / (-28 + 11) = - 18/17; g (-3) = (-6 + 26) / (-21 + 11) = - 20/10 = - 2; g (-2) = (-4 + 26) / (-14 + 11) = - 22/3; g (-1) = (-2 + 26) / (-7 + 11) = 24/4 = 6; g (0) = 26/11; g (1) = (2 + 26) / (7 + 11) = 28/18; g (2) = (4 + 26) / (14 + 11) = 30/25; g (3) = (6 + 26) / (21 + 11) = 32/32 = 1.

Ответ: - 13; - 3; - 1; 3.