Решите уравнение 2√3 cos² (3π/2+x) - sin2x=0. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку (3π/2; 3π).

2√3cos^2 (3π/2 + x) - sin2x = 0.

Так как cos (3π/2 + x) = sinx, а sin2x = 2sinxcosx, получается уравнение:

2√3sin^2 (x) - 2sinxcosx = 0.

Делим уравнение на cos^2 (x) (ОДЗ: cosx не равен 0, х не равен П/2 + 2 Пn).

2√3tg^2 (x) - 2tg (x) = 0.

Вынесем 2tgx за скобку:

2tgx (√3tg (x) - 1) = 0;

Отсюда 2tgx = 0, tgx = 0, х = Пn, n - целое число.

Или √3tg (x) - 1 = 0; √3tg (x) = 1; tg (x) = 1/√3, х = П/6 + Пn, n - целое число.

Найдем значения х на промежутке [3π/2; 3π] с помощью единичной окружности: х = 2 П; 3 П; 13 П/6.