Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=-х^2-4x и y=4+x

Найдем точки пересечения линий, для этого приравняем их уравнения друг к другу:

-x ^2 - 4x = 4 + x;

x^2 + 5x + 4 = 0;

x12 = (-5 + - √ (5^2 - 4 * 4)) / 2 = (-5 + - 3) / 2;

x1 = (-5 + 3) / 2 = - 1; x2 = (-5 - 3) / 2 = - 4.

Тогда площадь S, образованна заданными линиями, будет равна разности интегралов:

S = ∫ (-x^2 - 4x) * dx|-4; - 1 - ∫ (4 + x) * dx|-4; - 1 = (-1/3x^3 - 2x^2) |-4; -1 - (4x + 1/2x^2) |-4; -1 = (-1/3x^3 - 5/4x^2 - 4x) |-4; -1 = (1/3 - 5/4 + 4) - (-64/3 - 20 + 20) = - 11/12 + 4 + 64/3 = 257/12.