Какова должна быть последняя цифра пятизначного числа, делящего на 13, если первые 4 цифры это числа четвёррки?

Можно подобрать последнюю цифру, разделив на 13 числа с 44 440 по 44 449.

А можно использовать признаки делимости на 13. Их три.

Одно говорит, что число делится на 13, если на 13 делится число, полученное в результате вычитания цифры, стоящей в разряде единиц и умноженной на 9, из числа десятков исходного числа.

Десятков у нас 4 444. Начнем с 1, то есть с 44 441:

4 444 - 1*9 = 4 444 - 9 = 4 435.

При таком правиле на выходе получается довольно большое число. Операцию можно повторить для полученного числа:

444 - 5*9 = 444 - 45 = 399,

- на 13 не делится, так как 13 * 3 = 39 и в остатке остается 9. Значит и 4 435, и 44 441 на 13 не делятся. Но выходит долго.

Попробуем иначе:

Если на 13 делится разность числа, равного трем последним цифрам и числа, равного оставшимся цифрам (то есть от числа отрезают 3 последних цифры и из последних трех вычитают первые), то и число делится на 13:

44 441 уже проверили, попробуем следующее - 44 442:

442 - 44 = 398 - число явно на 13 не делится, так как 13 * 3 = 39 и в остатке 8.

Для 44 443:

443 - 44 = 399 - аналогично, только в остатке 9. Сколько надо добавить единиц, чтобы в остатке вышло 13:

13 - 9 = 4.

Значит к 44 443 надо добавить 4:

44 443 + 4 = 44 447.

Проверим:

447 - 44 = 403.

403 / 13 = 31.

На последнем шаге можно не делить, а применить третье правило, говорящее, что если на 13 делится число, получаемое в результате сложения десятков числа (40) и цифры, стоящей в единицах, умноженной на 4 (3 * 4), то и исходное число делится на 13:

40 + 3 * 4 = 40 + 12 = 52.

52 = 13 * 4.

Таким образом 44 447 делится на 13 без остатка:

44 447 / 13 = 3 419.