Один из корней квадратного уравнения равен 4. Найдите коэффициент k и второй корень уравнения: 1) а) x^2-2x+k=0; б) x^2+kx+12=0; 2) а) 6x^2+6x+k=0; б) 5x^2+kx-12=0.

Рассмотрим уравнение x² - 2x + k = 0 Найдем дискриминант D = 2² - 4 * 1 * k = 4 - 4k. х₁ = (2 - √ (4 - 4k)) / 2. х₂ = (2 + √ (4 - 4k)) / 2.

По условию один из корней равен 4.

х₂ = 4,

(2 + √ (4 - 4k)) / 2 = 4.

Решим уравнение:

2 + √ (4 - 4k) = 8,

√ (4 - 4k) = 8 - 2,

√ (4 - 4k) = 6,

4 - 4k = 36,

-4k = 32,

k = - 8.

Подставим k = - 8 в значение х₁:

х₁ = (2 - √ (4 + 4 * 8)) / 2 = (2 - 6) / 2 = - 4 / 2 = - 2.

Ответ: k = - 8, уравнение примет вид: x² - 2x - 8 = 0, корни уравнения: 4; - 2.

Рассмотрим уравнение x² + kx + 12 = 0 Найдем дискриминант D = k² - 4 * 1 * 12 = k² - 48. х₁ = (-k - √ (k² - 48)) / 2. х₂ = (-k + √ (k² - 48)) / 2.

По условию один из корней равен 4.

х₂ = 4:

(-k + √ (k² - 48)) / 2 = 4.

Решим уравнение:

-k + √ (k² - 48) = 8,

√ (k² - 48) = k + 8,

k² - 48 = (k + 8) ²,

k² - 48 = k² + 16k + 64.

-112 = 16k,

k = - 7.

Подставим k = - 7 в значение х₁:

х₁ = (7 - √ (49 - 48)) / 2 = (7 - 1) / 2 = 3.

Ответ: k = - 7, уравнение примет вид: x² - 7x + 12 = 0, корни уравнения: 4; 3.

Рассмотрим уравнение 6x² + 6x + k = 0 Найдем дискриминант D = 6² - 4 * 6 * k = 36 - 24k. х₁ = (-6 - √ (36 - 24k)) / 12. х₂ = (-6 + √ (36 - 24k)) / 12.

По условию один из корней равен 4.

х₂ = 4:

(-6 + √ (36 - 24k)) / 12 = 4.

Решим уравнение:

-6 + √ (36 - 24k) = 48,

√ (36 - 24k) = 54,

36 - 24k = 2916,

-24k = 2880,

k = - 120.

Подставим k = - 120 в значение х₁:

х₁ = (-6 - √ (36 + 24 * 120)) / 12 = - 5.

Ответ: k = - 120, уравнение примет вид: 6x² + 6x - 120 = 0, корни уравнения: 4; - 5.

Рассмотрим уравнение 5x² + kx - 12 = 0 Найдем дискриминант D = k² + 4 * 5 * 12 = k² + 240. х₁ = (-k - √ (k² + 240)) / 10. х₂ = (-k + √ (k² + 240)) / 10.

По условию один из корней равен 4.

х₂ = 4:

(-k + √ (k² + 240)) / 10 = 4.

Решим уравнение:

-k + √ (k² + 240) = 40,

√ (k² + 240) = k + 40,

k² + 240 = (k + 40) ²,

k² + 240 = k² + 80k + 1600.

-1360 = 80k,

k = - 17.

Подставим k = - 17 в значение х₁:

х₁ = (17 - √ (289 + 240)) / 10 = - 0,6.

Ответ: k = - 17, уравнение примет вид: 5x² - 17x - 12 = 0, корни уравнения: 4; - 0,6.

Будем применять теорему Виета, согласно которой: x1 * x2 = c, x1 + x2 = - b.

1. а) x^2 - 2x + k = 0.

4 + x2 = 2.

x2 = - 2.

4 * x2 = k.

4 * (-2) = - 8.

k = - 8.

б) x^2 + kx + 12 = 0.

4 * x2 = 12.

x2 = 3.

4 + 3 = - k.

k = - 7.

2. а) 6x^2 + 6x + k = 0.

4 + x2 = - 6.

x2 = - 10.

4 * (-10) = k.

k = - 40.

б) 5x^2 + kx - 12 = 0.

4 * x2 = - 12.

x2 = - 3.

4 - 3 = - k.

k = - 1.

Ответ: 1) - 8; - 7; 2) - 40; - 1.