При каких значениях m верно при любом x неравенство X^2 + (2m-6) x+2m^2-m+3>0

1. Неравенство (1) верно при любых значениях x, если дискриминант отрицательный:

x^2 + (2m - 6) x + 2m^2 - m + 3 > 0; (1) x^2 + 2 (m - 3) x + 2m^2 - m + 3 > 0; D/4 = (m - 3) ^2 - (2m^2 - m + 3) = m^2 - 6m + 9 - 2m^2 + m - 3 = - m^2 - 5m + 6; - m^2 - 5m + 6 <0; m^2 + 5m - 6> 0. (2)

2. Найдем корни квадратного трехчлена и решим неравенство (2):

D' = 5^2 + 4 * 6 = 25 + 24 = 49; m = (-5 ± √49) / 2 = (-5 ± 7) / 2; m1 = (-5 - 7) / 2 = - 12/2 = - 6; m2 = (-5 + 7) / 2 = 2/2 = 1; m ∈ (-∞; - 6) ∪ (1; ∞).

Ответ: (-∞; - 6) ∪ (1; ∞).