В равнобедренном прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна 5 см. Найдите площадь треугольника

Необходимо найти площадь равнобедренного треугольника АВС при условии, что медиана равна 5 см и проведена из вершины прямого угла. То есть треугольник АВС равнобедренный прямоугольный.

Свойства медианы

Рассмотрим основные свойства медианы в равнобедренном прямоугольном треугольнике:

медиана прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы, то есть делит её пополам; является высотой и биссектрисой треугольника; разбивает треугольник на два равновеликих. Рассмотрим треугольник АВО

∆ АВО является прямоугольным треугольником, так как ВО является и высотой, а значит перпендикулярна АС. В треугольнике АВО:

АО = ВО = 5 см,

угол АОВ = 90 градусов.

Рассмотрим треугольник СВО

∆СВО является прямоугольным треугольником, так как ВО является и высотой, а значит перпендикулярна АС. В треугольнике СВО:

СО = ВО = 5 см,

угол СОВ = 90 °

Определим площадь АВС

Выяснили, что АО = 5 см и СО = 5 см. Значит, АС = АО + СО = 10 см.

Вычислим площадь ∆ АВС по формуле:

S = 1/2*AC*BO = 1/2 * 10 * 5 = 25 кв. см.

Можно найти площадь ∆АВС, в просто воспользовавшись первым свойством медианы прямоугольного треугольника:

ВО = 1/2 * АС, значит АС = 2 ВО = 2*5 = 10 см.

Отсюда S∆ABC = 1/2 * 10 * 5 = 25 кв. см.

Ответ: 25 кв. см