Если от некоторого трёхзначного числа отнять 6, то оно разделится на 7, если отнять 7, то оно разделится на 8, а если отнять 8, то оно разделится на 9

1. Пусть x - натуральное число. По условию задачи составим сравнения:

x ≡ 6 (mod 7); (1) x ≡ 7 (mod 8); (2) x ≡ 8 (mod 9). (3)

2. Прибавим к обеим частям сравнений (1), (2) и (3) единицу:

x + 1 ≡ 7 ≡ 0 (mod 7); (4) x + 1 ≡ 8 ≡ 0 (mod 8); (5) x + 1 ≡ 9 ≡ 0 (mod 9). (6)

3. Из сравнений (4), (5) и (6) следует, что число x + 1 делится на 7, 8 и 9, а значит, и на их наименьшее общее кратное:

НОК (7, 8, 9) = 7 * 8 * 9 = 504; x = 504k, k ∈ N.

4. Единственное трехзначное число, удовлетворяющее уравнению (7) - 504.

Ответ: 504.