1) Натуральные числа от 1 выписаны подряд. Какая цифра стоит на 2013 месте? 2) Существует ли треугольник, стороны и высоты которого связаны соотношением a>b>c>h и выражаются последовательными числами, если высота h опущена на соторону b

Задание состоит из двух частей. Выполним каждую част по отдельности.

В этой части задания требуется определить цифру, расположенную на 2013-ом месте, если натуральные числа от 1 выписаны подряд. Очевидно, первые 9 мест займут однозначные числа. Поскольку двузначных чисел всего 90, то они займут с 10-го по 189-ые места, так как 90 * 2 = 180. Переходя к трёхзначным числам и учитывая их количество (900), заметим, что они занимают с 190-го по 189 + 3 * 900 = 2889-ые места. Значит, 2013-ое место занимает одна из трёх цифр какого-то трёхзначного числа. Очевидно, это число можно определить по разному; мы будем рассуждать следующим образом. Вычитая 189 от данного числа 2013, получим: 2013 - 189 = 1824. Выполним деление полученного числа (1824) на 3 (с остаткм, если таковое существует) Имеем: 1824 : 3 = 608 (без остатка). Это означает, что 608-ое трёхзначное число располагается на 2011-м, 2012-м и 2013-м местах. Не забудем, что до него на 189 местах были расположены 9 однозначных и 90 двузначных, всего 99 чисел. Тогда, очевидно на 2011-м, 2012-м и 2013-м местах будут расположены число 99 + 608 = 707, соответственно, 7, 0 и 7. Ответ: 7. Во второй части задания требуется ответить на вопрос "Существует ли треугольник, стороны и высоты которого связаны соотношением a > b > c > h и выражаются последовательными числами, если высота h опущена на сторону b?" По всей видимости, исследование этого вопроса займёт много времени и 1 час, которое отводится на решение двух частей задания, будет недостаточным. Начнём исследование и допустим, что существует такой треугольник. Вычислим площадь этого треугольника с помощью двух формул: S = √ (p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), где р = (a + b + c) / 2 и S = ½ * b * h. Имеем: √ (p * (p - a) * (p - b) * (p - c)) = ½ * b * h. Возводим обе части этого равенства в квадрат: ((a + b + c) / 2) * ((-a + b + c) / 2) * ((a - b + c) / 2) * ((a + b - c) / 2) = ¼ * b² * h². Умножим обе части последнего равенства на 16. Тогда, получим: (a + b + c) * (-a + b + c) * (a - b + c) * (a + b - c) = 4 * b² * h². Условие a > b > c > h означает, что среди этих чисел два чётных и два нечётных. Необходимо исследовать случаи, когда а - чётно и а - нечётно.