Вычислите сумму 2^x+2^-x, если 4^x+4^-x=23

Очевидно, что обе суммы связаны между собой - слагаемые левой части известного равенства являются квадратами слагаемых, сумму которых необходимо найти.

4^x + 4^ (-x) = 23;

Представим каждое из слагаемых левой части в виде квадратов чисел благодаря свойству "степени степени":

(2^x) ^2 + (2^ (-x)) ^2 = 23;

Найдем значение 2^x * 2^ (-x):

2^x * 2^ (-x) = 2^ (x - x) = 2^0 = 1;

Сформируем квадрат суммы чисел в левой части:

2^x + 2^ (-x) + 2 * 1 - 2 = 23;

(2^x + 2^ (-x)) ^2 - 2 = 23;

(2^x + 2^ (-x)) ^2 = 25;

2^x + 2^ (-x) = 5.

Значение - 5 не берем - сумма степеней двойки не может равняться отрицательному числу.