Х3-1/х3=19 (х-1/х) как решить урпвнение

ОДЗ: х ≠ 0.

Введем новую переменную. Пусть (x - 1/x) = y, тогда возведем у³.

(x - 1/x) ³ = x³ - 3 * x² * 1/x + 3 * x * 1/x² - 1/x³ = x³ - 1/x³ - 3x + 3/x = x³ - 1/x³ - 3 (x - 1/x).

Преобразуем наше начальное уравнение чтобы ввести новую переменную.

x³ - 1/x³ - 19 (x - 1/x) = 0.

(x³ - 1/x³ - 3 (x - 1/x)) - 16 (x - 1/x) = 0.

Теперь подставим нашу новую переменную.

y³ - 16y = 0.

y (y² - 16) = 0.

По правилам y = 0, и y² - 16 = 0.

y² = 16.

y = ± 4.

Теперь по очереди подставим наши получившиеся значения и найдем значения х.

1) x - 1/x = 0.

Так как х ≠ 0, умножим наше уравнение на х, чтобы избавиться от дробей.

x² - 1 = 0.

x² = 1.

x = ± 1. (Удовлетворяет нашему ОДЗ).

2) x - 1/x = 4.

Умножим наше уравнение на х.

x² - 1 = 4x.

x² - 4x - 1 = 0.

Имеем квадратное уравнение, для решения найдем дискриминант D = b² - 4ac.

D = 4 * 4 - 4 * ( - 1) * 1 = 16 + 4 = 20. √D = √20 = 2√5.

D > 0, значит у нашего уравнения 2 корня и найдем их по формуле x1; 2 = ( - b ± √D) / 2a.

x1,2 = (4 ± 2√5) / 2 = 2 ± √5. (Удовлетворяет нашему ОДЗ).

3) x - 1/x = - 4.

Умножим уравнение на х.

x² - 1 = - 4x.

x² + 4x - 1 = 0.

Имеем квадратное уравнение. Найдем дискриминант.

D = 4 * 4 - 4 * 1 * ( - 1) = 16 + 4 = 20. √D = √20 = 2√5.

Найдем корни уравнения.

x1,2 = ( - 4 ± 2√5) / 2 = - 2 ± √5. (Удовлетворяет нашему ОДЗ).

Ответ: x = ± 1, х = 2 ± √5, х = - 2 ± √5.