Докажите, что целые числа a и b дают при делении на 3 одинаковые остатки, не равные нулю, то число ab-1 делится на 3

Запишем числа а и b в общем виде согласно условия. a = 3 * k + m, b = 3 * n + m.

Найдём a * b - 1 = (3 * k + m) * (3 * n + m) - 1 = 9 * k * n + 3 * m * n + 3 * k * n + m^2 - 1 = 3 * (3 * k * n + m * n + k * n) + (m^2 - 1).

Мы получили два выражения, первое из которых делится на 3. Рассмотрим выражение (m^2 - 1). Так как m остаток от деления на 3 какого-то числа, значит, m = 2; m = 1, такие остатки получаются от деления на 3. Число 0 не является остатком.

1) 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3 делится на 3.

2) 1^2 - 1 = 1 - 1 = 0 делится на 3. Значит, (m^2 - 1) тоже делится на 3.