Докажите что при любом значении x верно неравенство: а) 2 (x+1) (x-3) > (x+5) (x-7); б) 1/4 (x+5) (x-7) < = (x+2) (x-4); С решением)

а) 2 (x + 1) (x - 3) > (x + 5) (x - 7).

Раскрываем скобки:

2 (x² + x - 3x - 3) > x² + 5x - 7 х - 35.

2x² - 4x - 6 > x² - 2 х - 35.

Переносим все в левую часть неравенства:

2x² - 4x - 6 - x² + 2 х + 35 > 0.

x² - 2 х + 29 > 0.

Рассмотрим функцию у = x² - 2 х + 29, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем точки пересечения ее с осью х: у = 0.

x² - 2 х + 29 = 0.

D = 4 - 116 = - 112 (D < 0, нет корней).

Точек пересечения с осью х нет, вся парабола находится над осью х (так как ветки вверх), значит, значение функции положительно при любом значении х.

То есть x² - 2 х + 29 > 0 при любом х.

б) 1/4 (x + 5) (x - 7) ≤ (x + 2) (x - 4).

Раскрываем скобки:

1/4 (x² - 2x - 35) ≤ x² - 2x - 8.

Умножим неравенство на 4, чтобы избавиться от дроби:

x² - 2x - 35 ≤ 4x² - 8x - 32.

Переносим все в левую часть:

x² - 2x - 35 - 4x² + 8x + 32 ≤ 0.

-3x² + 6x - 3 ≤ 0.

Рассмотрим функцию у = - 3x² + 6x - 3, это квадратичная парабола, ветви вниз.

Найдем точки пересечения параболы с осью х: у = 0.

-3x² + 6x - 3 = 0.

D = 36 - 36 = 0 (один корень).

х = - 6 / (-6) = 1.

Парабола касается оси х в точке 1 и находится под осью х (так как ветки вниз). Значение функции в точке х = 1 равно 0 (допускается неравенством), а при любых других значениях х функция меньше нуля.

То есть - 3x² + 6x - 3 ≤ 0.