Как разрезать отрезок длиной 15 см на две части так, чтобы, взяв их за катеты, получить прямоугольный треугольник с наименьшей гипотенузой?

Мы знаем, что а + b = 15; b = 15 - a.

Так как квадрат гипотенузы равен квадрату катетов, запишем:

a² + b² = a² + (15 - a) ² = a² + 225 - 30 * а + а² = 225 - 30 * а + 2 * а² = с²;

Возьмем производную:

(c²) ' = 4 * а - 30;

Приравняем ее к 0:

4 * а - 30 = 0;

4 * а = 30;

а = 30 / 4 = 7,5;

b = 15 - 7,5 = 7,5.

(c²) ' = 2 * с = 4 * а - 30;

Возьмем вторую производную:

(c²) " = 4 > 0, значит получена критическая точка минимума.

Проверим:

с = √‾ (7,5² + 7,5²) = √‾ (56,25 + 56,25) = √‾112,5 ≈ 10,6066

Возьмем другие значения:

а = 1, b = 15 - 1 = 14;

с = √‾ (1² + 14²) = √‾ (1 + 196) = √‾197 ≈ 14,03567 > 10.6066 ...

а = 3, b = 15 - 3 = 12;

с = √‾ (3² + 12²) = √‾ (9 + 144) = √‾153 ≈ 12,36932 > 10.6066 ...

а = 7, b = 15 - 7 = 8;

с = √‾ (7² + 8²) = √‾ (49 + 64) = √‾113 ≈ 10,63 > 10.6066 ...

Ответ: самая короткая гипотенуза получится при разделении отрезка 15 см пополам (по 7,5 см).