Представьте число 36 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение первого слагаемого и квадрата второго было наибольшим?

Обозначим через х и у искомые слагаемые. Тогда по условиям задания x + y = 36, х > 0 и у > 0. Пусть х - первое слагаемое. По требованию задания, составим произведение х * у². Задача состоит в том, чтобы найти такие х и у, чтобы выполнялись вышеприведённые условия и значение произведения х * у² было наибольшим. Используя условие x + y = 36, выразим у через х. имеем у = 36 - х. Подставим это выражение в произведение х * у² = х * (36 - х) ² = x * (36² - 2 * 36 * x + x²) = x³ - 72 * x² + 1296 * x. Итак, нужно найти наибольшее значение функции f (x) = x³ - 72 * x² + 1296 * x при условии, что х ∈ (0; 36). Найдём производную f ꞌ (x) = (x³ - 72 * x² + 1296 * x) ꞌ = 3 * х² - 2 * 72 * х + 1296 = 3 * х² - 144 * х + 1296. Приравнивая к нулю f ꞌ (x), найдём критические точки функции f (x). Имеем 3 * х² - 144 * х + 1296 = 0 или, поделив обе части уравнения на 3, имеем: х² - 48 * х + 432 = 0. Последнее квадратное уравнение имеет два различных корня: х₁ = 12 и х₂ = 36 - побочный корень, так как 36 ∉ (0; 36). Рассмотрим х = 12. Поскольку при х ∈ (0; 12) производная f ꞌ (x) > 0 и при х ∈ (12; 36) производная f ꞌ (x) < 0, то функция f (x) принимает своего наибольшего значения при х = 12. Возвращаясь к исходной задаче, найдём у = 36 - 12 = 24. Итак, первое слагаемое 12, а второе слагаемое 24.

Ответ: Первое слагаемое 12, а второе слагаемое 24.