Решите 1. (2/3) ^x>1 1/2 2. 9^2x≤1/3 3. (1/7) ^x^2-9≤1 4. 4^x+2^x+1-80<0 5. (1/3) ^t<1/27

1) (2/3) ^x > 1 1/2.

1 1/2 = 3/2.

(2/3) ^x > 3/2;

(2/3) ^x > (2/3) ^ (-1).

Так как 2/3 меньше единицы, при решении неравенства знак перевернется.

х < - 1.

Решение: (-∞; - 1).

2) 9^2x ≤ 1/3.

Представим числа 9 и 1/3 в виде степени с основанием 3:

(3^2) ^2x ≤ 3^ (-1);

3^4x ≤ 3^ (-1);

4 х ≤ - 1; х ≤ - 1/4.

Решение: (-∞; - 1/4].

3) (1/7) ^ (x^2 - 9) ≤ 1.

Так как любое число в нулевой степени равно единице, то получаем:

(1/7) ^ (x^2 - 9) ≤ (1/7) ^0.

Так как 1/7 меньше 1, то получается неравенство:

x^2 - 9 ≥ 0.

Рассмотрим функцию у = x^2 - 9, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; x^2 - 9 = 0; (х - 3) (х + 3) = 0; х = - 3 и х = 3.

Отмечаем на числовой прямой точки - 3 и 3, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак ≥ 0, значит решением неравенства будут промежутки, где парабола находится выше прямой, то есть (-∞; - 3] и [3; + ∞).

Ответ: х принадлежит промежуткам (-∞; - 3] и [3; + ∞).

4) 4^x + 2^ (x + 1) - 80 < 0.

Распишем степени:

(2^2) ^x + 2^x * 2^1 - 80 < 0;

(2^x) ^2 + 2 * 2^x - 80 < 0.

Введем новую переменную, пусть 2^x = а (а > 0).

а^2 + 2 а - 80 < 0.

Функция у = а^2 + 2 а - 80, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Нули функции: у = 0; а^2 + 2 а - 80 = 0.

Решаем квадратное уравнение:

a = 1; b = 2; c = - 80;

D = 2^2 - 4 * 1 * (-80) = 4 + 320 = 324 (√D = 18);

а₁ = (-2 - 18) / 2 = - 20/2 = - 10.

а₂ = (-2 + 18) / 2 = 16/2 = 8.

Отмечаем на числовой прямой точки - 10 и 8, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак < 0, значит решением неравенства будет промежуток, где парабола находится ниже прямой, то есть (-10; 8). Но так как а должно быть больше нуля, то промежуток будет (0; 8).

а > 0 и а < 8.

Вернемся к замене 2^x = а.

1) a > 0; 2^x > 0. Так как 2^x всегда больше нуля, то х - любое число.

2) а < 8; 2^x < 8; 2^x < 2^3. Значит, х < 3.

Решение: (-∞; 3).

5) (1/3) ^t < 1/27.

Представим число 1/27 как степень с основанием 3:

(1/3) ^t < (1/3) ^3.

Так как 1/3 меньше единицы, получается неравенство:

t > 3.

Ответ: t принадлежит промежутку (3; + ∞).