НА вечере присутствуют девять человек. Может ли так оказаться, что каждый из них знаком только с тремя участниками вечера?

Предположим, что это возможно. Построим граф с вершинами, соответствующими участникам вечера. Этот граф обладает 9 вершинами. Степень каждой вершины равна 3. Степень вершины графа - количество рёбер графа, инцидентных вершине.

Рёбра графа будут отображать знакомства. Количество рёбер при этих условиях равно 9 · 3 / 2 = 13,5;

Из каждой вершины выходит 3 ребра и эти рёбра мы посчитали дважды.

Мы получили не целое число рёбер, значит, такой граф построить невозможно.

Ответ: Каждый из 9 человек не может быть знаком только с тремя участниками вечера.