Log2 (2x-1) - 2=log2 (x+2) - log2 (x+1)

Найдем ОДЗ:

log ₂ (2 х - 1) - 2 = log ₂ (x + 2) - log ₂ (х + 1);

{2 х - 1 > 0;

{х + 2 > 0;

{х + 1 > 0;

2x > 1;

x1 > 1/2;

х2 > - 2;

x3 > - 1;

х ∈ (1/2; + ∞);

Преобразуем числовой коэффициент логарифм:

2 = 2 * log ₂ 2 = log ₂ 2 ²;

log ₂ (2 х - 1) - log ₂ 2 ² = log ₂ (x + 2) - log ₂ (х + 1);

Основания логарифмов равны, поэтому воспользуемся свойством частного логарифма:

log ₂ (2 х - 1) / 4 = log ₂ (x + 2) / (х + 1);

Из равенства основания логарифмов следует:

(2 х - 1) / 4 = (x + 2) / (х + 1);

((2 х - 1) (х + 1) - 4 (x + 2)) / 4 (х + 1) = 0;

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю:

(2 х - 1) (х + 1) - 4 (x + 2) = 0;

2 х² + 2x - x - 1 - 4 х - 8 = 0;

2 х² - 3 х - 9 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 3) ² - 4 * 2 * ( - 9) = 9 - 72 = 81;

D › 0, значит:

х1 = ( - b - √D) / 2a = (3 - √81) / 2 * 2 = (3 - 9) / 4 = - 6 / 4 = - 1 1/2, не подходит по ОДЗ;

х2 = ( - b + √D) / 2a = (3 + √81) / 2 * 2 = (3 + 9) / 4 = 12 / 4 = 3;

Ответ: х = 3.