Площадь окружности вписанной в правильный треугольник равна 3 п. найдите сторону треугольника

Радиус любой вписанной окружности равен:

r = √ (((p - a) (p - b) (p - c)) / p), где p - полупериметр треугольника; a, b и c - его стороны.

Полупериметр находится по формуле:

p = (a + b + c) / 2.

В данном случае треугольник правильный, то есть равносторонний. Значит? все его стороны равны a. Найдем полупериметр исходя из этого:

p = (a + a + a) / 2 = 3a/2 = 1,5a.

Теперь найдем формулу для радиуса в нашем случае:

r = √ (((1,5a - a) (1,5a - a) (1,5a - a)) / 1,5a) = √ ((1,5a - a) ³/1,5a) = √ ((0,5a) ³/1,5a) = √ (0,125a³/1,5a) = √a²/12 = a/2 * √1/3.

С другой стороны радиус окружности равен:

r = √S/π, где S - площадь окружности.

Площадь нам известна. Найдем радиус:

r = √3π/π = √3.

Выразим из первой формулы для радиуса сторону треугольника:

a = 2r / √1/3.

Вычислим a:

a = (2 * √3) / √1/3 = 2 * 3 = 6.

Ответ: сторона правильного треугольника равна 6.