Найти Унаиб. и Унаим. ^-степень 1. у = (х^2) : 3+4 х^2-15x 2. y=x-cos2x, [-п; 0]

Задание состоит из двух частей, в каждой из которых требуется найти наибольшее и наименьшее значение заданной функции. Для каждой части применим метод дифференциального и интегрального исчисления.

Рассмотрим функцию у = х² : 3 + 4 * х² - 15 * x. Приведём подобные члены в формуле данной функции: у = (13/3) * х² - 15 * x. Данная функция определена и дифференцируема для всех х ∈ (-∞; + ∞). Вычислим производную полученной функции. Имеем: уꞋ = ((13/3) * х² - 15 * x) Ꞌ = ((13/3) * х²) Ꞌ - (15 * x) Ꞌ = (26/3) * х - 15. Приравнивая к нулю производную, получим уравнение (26/3) * х - 15 = 0. Решим его. Оно имеет корень х = 45/26. Вычислим знак производной в интервалах (-∞; 45/26) и (45/26; + ∞). Нетрудно вычислить, что при х ∈ (-∞; 45/26) производная отрицательна, а при х ∈ (45/26; + ∞) производная положительна. Следовательно, при переходе через точку х = 45/26 производная меняет свой знак с минуса на плюс. Значит, данная функция в точке х = 45/26 принимает минимальное значение. Вычислим у_наим. = (13/3) * (45/26) ² - 15 * (45/26) = - 675/52. Ответ: у_наим. = - 675/52. Рассмотрим функцию у = x - cos (2 * x). Данная функция определена и дифференцируема для всех х ∈ (-∞; + ∞). Вычислим производную полученной функции. Имеем: уꞋ = (x - cos (2 * x)) Ꞌ = 1 + 2 * sin (2 * x). Приравнивая к нулю производную, получим уравнение 1 + 2 * sin (2 * x) = 0 или sin (2 * x) = - 1/2. Это уравнение имеет следующие две серии решений: 2 * x = - π/6 + 2 * π * n и 2 * x = 7 * π/6 + 2 * π * k, где n, k ∈ Z, Z - множество целых чисел. Поделим обе части полученных равенств на 2. Тогда x = - π/12 + π * n и x = 7 * π/12 + π * k. Учитывая, что требуется найти наибольшее и наименьшее значение заданной функции в интервале [-π; 0], решим относительно n и k ∈ Z следующие два двойных неравенств: - π ≤ - π/12 + π * n ≤ 0 и - π ≤ 7 * π/12 + π * k ≤ 0. Нетрудно убедиться, что первое неравенство имеет решение n = 0, а второе - k = - 1. Соответственно, получаем две точки х = - π/12 и х = - 5 * π/12, принадлежащие интервалу [-π; 0]. Рассмотрим поведение производной в интервалах [-π; - 5 * π/12), (-5 * π/12; - π/12) и (-π/12; 0]. Нетрудно вычислить, что при х ∈[-π; - 5 * π/12) производная положительна, при х ∈ (-5 * π/12; - π/12) производная отрицательна и при х ∈ (-π/12; 0] производная снова положительна. Следовательно, при переходе через точку х = - 5 * π/12 производная меняет свой знак с плюса на минус. Значит, данная функция в точке х = - 5 * π/12 принимает максимальное значение. Вычислим у_наиб. = - 5 * π/12 - cos (2 * (-5 * π/12)) = - 5 * π/12 + √ (3) / 2. Аналогично, при переходе через точку х = - π/12 производная меняет свой знак с минуса на плюс. Значит, данная функция в точке х = - π/12 принимает минимальное значение. Вычислим у_наим. = - π/12 - cos (2 * (-π/12)) = - π/12 - √ (3) / 2. Ответ: у_наиб. = - 5 * π/12 + √ (3) / 2, у_наим. = - π/12 - √ (3) / 2.