Сумма квадратов двух натуральных чисел делится на 21. Докажите, что эта сумма делится на 441.

Пусть a, b - натуральные числа и a^2 + b^2 делится на 21.

Если число делится на 21, то оно делится одновременно и

на 3 и на 7.

Рассмотрим различные варианты делимости a, b на 3:

a = 3 * n + r1, b = 3 * m + r2, где r1, r2 - остатки от деления на 3.

a^2 + b^2 = (3 * n + r1) ^2 + (3 * m + r2) ^2 =

= 9 * n^2 + 6 * n * r1 + r1^2 + 9 * m^2 + 6 * m * r2 + r2^2 =

= 3 * N + r1^2 + r2^2.

Отсюда видно, если a^2 + b^2 делится на 3, то r1^2 + r2^2 делится на 3. Значения r1, r2 - 0, 1, 2 и легко убедиться, что r1 = r2 = 0 для делимости на 3.

Аналогично получим:

a = 7 * n + r1, b = 7 * m + r2, где r1, r2 - остатки от деления на 3.

a^2 + b^2 = (7 * n + r1) ^2 + (7 * m + r2) ^2 =

= 49 * n^2 + 14 * n * r1 + r1^2 + 49 * m^2 + 14 * m * r2 + r2^2 =

= 7 * N + r1^2 + r2^2.

Отсюда видно, если a^2 + b^2 делится на 7, то r1^2 + r2^2 делится на 7. Значения r1, r2 - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и легко убедиться, что r1 = r2 = 0 для делимости на 7.

Итак, мы получили, что если a^2 + b^2 делится на 3 или 7, то a и b должны делиться на 3 и на 7. Следовательно,

a = 3 * 7 * x, b = 3 * 7 * y и

a^2 + b^2 = 441 * x^2 + 441 * y^2 = 441 * (x^2 + y^2), и значит делится на 441.