Найдите f' (x), f' (1/4), если f (x) = 1/2lnx+3

Найдём производную данной функции: f (x) = 1 / (2ln x + 3).

Эту функцию можно записать так: f (x) = (2ln x + 3) ^ (-1).

Воспользовавшись формулами:

(x^n) ' = n * x^ (n-1) (производная основной элементарной функции).

(ln x) ' = 1 / х (производная основной элементарной функции).

(с) ' = 0, где с - const (производная основной элементарной функции).

(с * u) ' = с * u', где с - const (основное правило дифференцирования).

(u + v) ' = u' + v' (основное правило дифференцирования).

y = f (g (x)), y' = f'u (u) * g'x (x), где u = g (x) (основное правило дифференцирования).

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

f (x) ' = ((2ln x + 3) ^ (-1)) ' = (2ln x + 3) ' * ((2ln x + 3) ^ (-1)) ' = ((2ln x) ' + (3) ') * ((2ln x + 3) ^ (-1)) ' = (2 * (1 / x) + 0) * (-1) * (2ln x + 3) ^ (-1 - 1) = (2 / x) * (-1) * (2ln x + 3) ^ (-2) = (-2) / (x * (2ln x + 3) ^2).

Вычислим значение производной в точке х0 = 1 / 4:

f (x) ' (1 / 4) = (-2) / ((1 / 4) * (2 * (ln (1 / 4)) + 3) ^2) = (-2 * 4) / ((2 * (-1,39) + 3) ^2) = (-8) / ((-2,78 + 3) ^2) = (-8) / ((0,22) ^2) = - 8 / 0,0484 = - 165,29.

Ответ: f (x) ' = (-2) / (x * (2ln x + 3) ^2), а f (x) ' (1 / 4) = - 165,29.