Найти точку минимума функции y=-x^2+5x - 2lnx

1. Область допустимых значений:

x > 0; x ∈ (0; ∞).

2. Критические точки:

y = - x^2 + 5x - 2lnx; y' = - 2x + 5 - 2/x = (-2x^2 + 5x - 2) / x = - (2x^2 - 5x + 2) / x; y' = 0; - (2x^2 - 5x + 2) / x = 0; 2x^2 - 5x + 2 = 0; D = 5^2 - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9; x = (5 ± √9) / (2 * 2) = (5 ± 3) / 4; x1 = (5 - 3) / 4 = 2/4 = 1/2; x2 = (5 + 3) / 4 = 8/4 = 2;

3. Промежутки монотонности:

a) x ∈ (0; 1/2), y' <0, функция убывает; b) x ∈ (1/2; 2), y'> 0, функция возрастает; c) x ∈ (2; ∞), y' < 0, функция убывает.

4. Точки экстремума:

x = 1/2 - точка минимума; x = 2 - точка максимума.

Ответ: x = 1/2 - точка минимума.