Решите уравнение log3x+14 (log3x) 1/2-32=0

Прежде всего, заметим, что, во-первых, по определению логарифма, х > 0, во-вторых, из-за (log₃x) ^1/2 = √ (log₃x), по определению арифметического квадратного корня, (log₃x) ^1/2 > 0. Введём новую переменную у = (log₃x) ^1/2. Ясно, что тогда, log₃x = у². Подставим эти выражения в данное уравнение, имеем: у² + 14 * у - 32 = 0. Полученное уравнение является приведённым квадратным уравнением. Вычислим его дискриминант D = 14² - 4 * 1 * (-32) = 196 + 128 = 324. Поскольку D = 324 > 0, то это квадратное уравнение имеет два различных корня. Вычислим их: у₁ = (-14 - √ (324)) / 2 = (-14 - 18) / 2 = - 16 и у₂ = (-14 + √ (324)) / 2 = (-14 + 18) / 2 = 2. Рассмотрим каждый корень по отдельности. При у = - 16, имеем: (log₃x) ^1/2 = - 16 < 0, что не возможно (см. п. 1). Значит, это побочный корень. При у = 2, имеем: (log₃x) ^1/2 = 2 > 0. Возводя в квадрат обе части этого равенства, получим: log₃x = 2² или log₃x = 4. Согласно определения логарифма, логарифм числа х по основанию 3 равен показателю степени, в которую нужно возвести 3, чтобы получить х. Очевидно следующее: чтобы получить х, число 3 нужно возвести в четвёртую степень, другими словами, х = 3⁴ = 81. Это означает, что данное уравнение имеет одно решение: х = 81.

Ответ: х = 81.