Докажите, что заданная функция возрастает на R : y=sinx+x^3+x

Имеем функцию y = sinx + x^3 + x.

Докажем, что функция возрастает на R.

Функция возрастает на R, если каждому большему значению аргумента (переменной) соответствует большее значение функции.

Функция будет возрастающей, если производная будет больше нуля.

y' = cosx + 3 * x^2 + 1.

Оценим слагаемые:

Косинус - тригонометрическая функция, оценим область значений:

-1 < = cosx < = 1; Добавим единицу во все части неравенства:

0 < = cosx + 1 < = 2.

Получили сумму числа, значение которого от 0 до 2, и утроенного квадрата другого числа, которые одновременно нулю равны не могут быть. Поэтому функция возрастает на R.