Докажите если функция у=f (x) возрастает на промежутке Х и а>0, то при любом значении b функция у=a*f (x) + b возрастает на Х

Известно, что если функция возрастает, то для большего аргумента соответствует большее значение функции и наоборот, меньшему аргументу соответствует меньшее значение функции. Возьмем х₁ и х₂ из промежутка Х, причем х₁> x₂, докажем, что y (x₁) > y (x₂).

Найдем знак разности: y (x₁) - y (x₂) = (a * f (x₁) + b) - (a * f (x₂) + b) =

= a * f (x₁) + b - a * f (x₂) - b = a * (f (x₁) - f (x₂)), раз по условию a >0 и f (x₁) - f (x₂) > 0,

то данное произведение будет положительным, короче a * (f (x₁) - f (x₂)) > 0, следовательно:

y (x₁) - y (x₂) > 0 → y (x₁) > y (x₂).

Отсюда получаем доказательство того что y = a * f (x) + b - возрастает на промежутке Х.