0,6cosX - 0,8sinX = -5/13. Нужен гений для решения данного уравнения. X принадлежит интервалу (0; 90)

Для начала освободимся в уравнении от дробных коэффициентов:

39 cos X - 52 sin X = - 25.

Сделаем замену переменных:

X = 2 x.

39 cos 2 x - 52 sin 2 x = - 25.

По формулам двойного угла развернём синус и косинус:

39 (cos² x - sin² x) - 52 (2 sin x cos x) = - 25;

В правой части уравнения коэффициент при 25 единицу развернём в сумму квадратов синуса и косинуса.

39 (cos² x - sin² x) - 52 (2 sin x cos x) = - 25 (cos² x + sin² x).

Разделим обе части уравнения на cos² x:

39 (1 - tg² x) - 104 tg x = - 25 (1 + tg² x).

14 tg² x + 104 tg x - 64 = 0.

7 tg² x + 52 tg x - 32 = 0.

Решаем квадратное уравнение, как от переменной tg x.

tg x = ( - 26 ± √ (676 + 224)) / 7 = ( - 26 ± 30) / 7.

a) tg x₁ = 4/7;

x₁ = arctg 4/7 + Pi k

X₁ = 2 x₁ = 2 arctg 4/7 + 2 Pi k.

b) tg x₂ = - 8.

x₂ = - arctg 8 + Pi k

X₂ = 2 x₂ = 2 arctg - 8 + 2 Pi k.