Решить иррациональные уравнения 1) √ (5-x) - √ (5+x) = 2 2) √ (x-2) + √ (x+6) = 4 3) √ (5x-3) - √ (2x+1) = √ (3x-2)

1) √ (5 - x) - √ (5 + x) = 2.

Возведем обе части уравнения в квадрат.

(√ (5 - x) - √ (5 + x)) ^2 = 2^2.

Раскрываем скобки по формуле квадрата разности:

(5 - x) - 2√ (5 - x) (5 + x) + (5 + х) = 4;

5 - x - 2√ (25 - x^2) + 5 + х = 4;

-2√ (25 - x^2) + 10 = 4;

-2√ (25 - x^2) = 4 - 10;

-2√ (25 - x^2) = - 6; поделим уравнение на (-2):

√ (25 - x^2) = 3.

Возведем все уравнение в квадрат еще раз:

25 - x^2 = 9;

-x^2 = 9 - 25;

-x^2 = - 16;

x^2 = 16;

х = √16; х = - 4; х = 4.

2) √ (x - 2) + √ (x + 6) = 4.

Возведем обе части уравнения в квадрат.

(√ (x - 2) + √ (x + 6)) ^2 = 4^2;

(x - 2) + 2√ (x - 2) (x + 6) + (x + 6) = 16;

x - 2 + 2√ (x - 2) (x + 6) + x + 6 = 16;

2√ (x - 2) (x + 6) + 2x + 4 = 16;

2√ (x - 2) (x + 6) = 16 - 4 - 2 х;

2√ (x - 2) (x + 6) = 12 - 2 х; поделим уравнение на 2:

√ (x - 2) (x + 6) = 6 - х.

Возведем все уравнение в квадрат еще раз:

(x - 2) (x + 6) = (6 - х) ^2;

х^2 - 2x + 6x - 12 = 36 - 12x + x^2;

х^2 + 4x - 12 - 36 + 12x - x^2 = 0;

16 х = 48;

х = 3.

3) √ (5x - 3) - √ (2x + 1) = √ (3x - 2).

Возведем обе части уравнения в квадрат.

(√ (5x - 3) - √ (2x + 1)) ^2 = (√ (3x - 2)) ^2;

5 х - 3 - 2√ (5x - 3) (2x + 1) + 2 х + 1 = 3 х - 2;

-2√ (10 х^2 - 6 х + 5 х - 3) + 7 х - 2 = 3 х - 2;

-2√ (10 х^2 - х - 3) = 3 х - 2 - 7 х + 2;

-2√ (10 х^2 - х - 3) = - 4 х; поделим уравнение на (-2):

√ (10 х^2 - х - 3) = 2 х.

Возведем все уравнение в квадрат еще раз:

10 х^2 - х - 3 = 4 х^2;

10 х^2 - х - 3 - 4 х^2 = 0;

6 х^2 - х - 3 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 6; b = - 1; c = - 3;

D = b^2 - 4ac; D = (-1) ^2 - 4 * 6 * (-3) = 1 + 72 = 73 (√D = √73);

x = (-b ± √D) / 2a;

х₁ = (1 + √73) / 12;

х₂ = (1 - √73) / 12.