Решите иррациональные уравнения: 1) 2 * кв. корень из (x^2-4x+2) - кв. корень из (x^2-4x+7) = 12) (3x^2 - 7x + 2) * кв. корень из (3+5 х-2 х^2) = 0

Question

Гость

Математика

26 августа, 00:47

Решите иррациональные уравнения: 1) 2 * кв. корень из (x^2-4x+2) - кв. корень из (x^2-4x+7) = 12) (3x^2 - 7x + 2) * кв. корень из (3+5 х-2 х^2) = 0

+3

Ответы (1)

Знаешь ответ на этот вопрос?

Огонек · Answer 1

1. Выполним замену:

2√ (x² - 4x + 2) - √ (x² - 4x + 7) = 1;

2√ (x² - 4x + 2) - √ (x² - 4x + 2 + 5) = 1;

x² - 4x + 2 = у;

2√у - √ (у + 5) = 1;

2√у = 1 + √ (у + 5);

2. Чтобы избавиться от иррациональности возведем в квадрат обе части равенства:

[2√у]² = [1 + √ (у + 5) ]²;

4y = 1 + 2√ (у + 5) + (у + 5);

4y - 1 - y - 5 = 2√ (у + 5);

3y - 6 = 2√ (у + 5);

3. Возведем в квадрат еще раз:

[3y - 6]² = [2√ (у + 5) ]²;

9y² - 36y + 36 = 4 (y + 5);

9y² - 36y + 36 - 4y - 20 = 0;

9y² - 40y + 16 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 40) ² - 4 * 9 * 16 = 1600 - 576 = 1024;

D › 0, значит:

y1 = ( - b - √D) / 2a = (40 - √1024) / 2 * 9 = (40 - 32) / 18 = 8 / 18 = 4/9;

y2 = ( - b + √D) / 2a = (40 + √1024) / 2 * 9 = (40 + 32) / 18 = 72 / 18 = 4;

Подставим корни уравнения:

x² - 4x + 2 = у;

1) Если у = 4/9, то:

x² - 4x + 2 = 4/9;

х² - 4 х + 14/9 = 0;

D = b² - 4ac = ( - 4) ² - 4 * 1 * 14/9 = 16 - 56/9 = 88/9;

D › 0, значит:

х1 = ( - b - √D) / 2a = (4 - √88/9) / 2 * 1 = (4 - 1/3√88) / 2 = (2 - 1/3√22);

х2 = ( - b + √D) / 2a = (4 + √88/9) / 2 * 1 = (4 + 1/3√88) / 2 = (2 + 1/3√22);

2) Если у = 4, то:

x² - 4x + 2 = 4;

х² - 4 х - 2 = 0;

D = b² - 4ac = ( - 4) ² - 4 * 1 * ( - 2) = 16 + 8 = 24;

D › 0, значит:

х3 = ( - b - √D) / 2a = (4 - √24) / 2 * 1 = (4 - √4 * 6) / 2 = (4 - 2√6) / 2 = 2 - √6;

х4 = ( - b + √D) / 2a = (4 + √12) / 2 * 1 = (4 + √4 * 6) / 2 = (4 + 2√6) / 2 = 2 + √6;

Ответ: х1 = (2 - 1/3√22), х2 = (2 + 1/3√22), x3 = 2 - √6, x = 2 - √6.

1. Произведение равно нулю, если:

(3x² - 7x + 2) √ (3 + 5 х - 2 х²) = 0;

3x² - 7x + 2 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 7) ² - 4 * 2 * 3 = 49 - 24 = 25;

D › 0, значит:

х1 = ( - b - √D) / 2a = (7 - √25) / 2 * 3 = (7 - 5) / 6 = 2 / 6 = 1/3;

х2 = ( - b + √D) / 2a = (7 + √25) / 2 * 3 = (7 + 5) / 6 = 12 / 6 = 2;

или √ (3 + 5 х - 2 х²) = 0;

2x² - 5x - 3 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 5) ² - 4 * 2 * ( - 3) = 25 - 24 = 49;

D › 0, значит:

х3 = ( - b - √D) / 2a = (5 - √49) / 2 * 2 = (5 - 7) / 4 = - 2 / 4 = - 1/2;

х4 = ( - b + √D) / 2a = (5 + √49) / 2 * 2 = (5 + 7) / 4 = 12 / 4 = 3;

Ответ: х1 = 1/3, х2 = 2, х3 = - 1/2, х4 = 3.