Занятия математического кружка проходят в девяти аудиториях. Среди прочих, на эти занятия приходят 19 учеников из одной и той же школы. а) Докажите, что как их не пересаживай, хотя бы в одной аудитории окажется не меньше трех таких школьников. б) Верно ли, что в какой-нибудь аудитории обязательно окажется ровно три таких школьника?

а) Если в каждой из 9 аудиторий занимались не больше двух школьников из данной школы, то число школьников в 9 аудиториях было бы не больше 9 * 2 = 18, что противоречит условию. Первое утверждение верно.

б) Второе утверждение, очевидно, ложно, поскольку 19 учеников можно распределить по 9 аудиториям, например, таким образом:

1) в 7 аудиториях по 2 ученика:

7 * 2 = 14 (учеников);

2) в двух других - 1 и 4 учеников:

1 + 4 = 5; 14 + 5 = 19 (учеников).

Ответ:

а) утверждение доказано; б) утверждение не верно.