На клетчатой бумаге нарисован квадрат 500*500. Какое наибольшее число клеток этого квадрата сможет разрезать прямая?

Больше всех клеток разрежет прямая, которая параллельно диагонали квадрата (но не являющаяся диагональю), но смещённая на небольшое расстояние от диагонали.

Прямая, смещенная относительно диагонали, будет разрезать сразу по две клетки, но кроме последней. То есть нам надо вычислить: 500 * 2 - 1 = 999 клеток.

Прямая может проходить под любым углом, поэтому будем перебирать все варианты.

Проведем прямую параллельно стороне квадрата Пусть прямая проходит параллельно горизонтальной стороне квадрата. Тогда прямая может пересечь ровно 500 клеток, на какой бы высоте не проходила прямая. Пусть прямая проходит параллельно вертикальной стороне квадрата, тогда прямая может пересечь тоже 500 клеток, как бы мы не сдвигали прямую вправо или влево. Проведем прямую по диагонали квадрата, так же получается, что прямая пересекает ровно 500 клеток.

Но если прямую провести параллельно диагонали квадрата, но чуть сдвинув в сторону, то она пересечет больше клеток. Высчитаем, сколько клеток пересечет прямая.

Проведем прямую параллельно диагонали квадрата

Сдвинем прямую чуть правее диагонали квадрата. Тогда прямая пересекает те 500 клеток, которые пересекает диагональ и еще соседние правые клетки, кроме одной (самой нижней). Получается, что прямая пересечет 500 + 499 = 999 клеток.

Таким же образом можно было сдвинуть прямую влево от диагонали, тогда прямая пересекла те 500 клеток, которое пересекает диагональ и соседние левые клетки, кроме верхней.

Формула вычисления максимального количества клеток, которое может пересечь прямая:

max = N * 2 - 1, где max - это максимальное количество, а N - количество клеток на стороне квадрата.

Проверим эту формулу. N = 500 (сторона квадрата), получается max = 500 * 2 - 1 = 1000 - 1 = 999.

Ответ: 999 клеток.