Найти значения p, при которых один из корней уравнения 8x² + (2p+1) x+2p-1=0 является числом р

1. Уравнение имеет решение при D ≥ 0:

8x^2 + (2p + 1) x + 2p - 1 = 0;

(2p + 1) ^2 - 4 * 8 * (2p - 1) ≥ 0;

4p^2 + 4p + 1 - 64p + 32 ≥ 0;

4p^2 - 60p + 33 ≥ 0;

D/4 = 30^2 - 4 * 33 = 900 - 132 = 768 = 3 * 256;

√ (D/4) = 8√3;

p = (30 ± 8√3) / 4 = 7,5 ± 2√3;

p1 = 7,5 - 2√3;

p2 = 7,5 + 2√3;

p ∈ (-∞; 7,5 - 2√3) ∪ (7,5 + 2√3; ∞). (1)

2. Если в заданном уравнении вместо x подставим p, то получим верное равенство:

8x^2 + (2p + 1) x + 2p - 1 = 0;

8p^2 + (2p + 1) p + 2p - 1 = 0;

8p^2 + 2p^2 + p + 2p - 1 = 0;

10p^2 + 3p - 1 = 0;

D = 3^2 + 4 * 10 * 1 = 9 + 40 = 49;

√D = √49 = 7;

p = (-b ± √D) / (2a);

p = (-3 ± 7) / 20;

p1 = (-3 - 7) / 20 = - 10 / 20 = - 0,5 ∈ (1);

p2 = (-3 + 7) / 20 = 4 / 20 = 0,2 ∈ (1);

Ответ: - 0,5; 0,2.