На каждой стороне и каждой диагонали 20-угольника находится по лампочке, а в каждой вершине - по выключателю. Каждый выключатель контролирует лампочки, находящиеся на сторонах и диагоналях, выходящих из этой вершины: при переключении выключателя все горящие лампочки, которые он контролирует, гаснут, а все погасшие - включаются. Переключать два выключателя одновременно нельзя. Сейчас все лампочки не горят. Какое наибольшее количество лампочек можно сделать одновременно горящими, пользуясь выключателями?

Давайте поделим выключатели на группы A и В. Первая группа состоит из выключателей, переключавшихся нечетное количество раз, а вторая четное. Возьмем лампочку Х между выключателями из группы А. Выключатели смежные с данной лампочкой в сумме переключались четное число раз, поэтому лампочка будет выключенной. Теперь рассмотрим лампочку между выключателями разных групп, данная лампочка будет гореть, потому что суммарное все смежные с ней выключатели были переключены нечетное количество раз. В итоге получается, что гореть будут те лампочки, которые расположены между переключателями разных групп.

Допусти, что в группе А находится 10 - х выключателей, а в группе В 10 + х. Отсюда следует, что существует (10 - х) (10 + х) лампочек, на концах которых расположены выключатели разных групп. Таким образом, достаточно будет найти наибольшее возможное число выражения (10 - х) (10 + х). Получаем ответ, что одновременно гореть может не более 100 лампочек.