Упростить: Sina-Sin3a/Cosa-Cos3a (1-Cos4a)

Рассмотрим тригонометрическое выражение ((sinα - sin (3 * α)) / (cosα - cos (3 * α))) * (1 - cos (4 * α)), которого обозначим через Т. По требованию задания, упростим данное выражение. Прежде всего, предположим, что рассматриваются такие углы α, для которых данное выражение имеет смысл. Применим следующие формулы к соответствующим выражениям из состава данного выражения: sinα - sinβ = 2 * sin (½ * (α - β)) * cos (½ * (α + β)) (разность синусов), cosα - cosβ = - 2 * sin (½ * (α + β)) * sin (½ * (α - β)) (разность косинусов) и 2 * sin²α = 1 - cos (2 * α). Кроме того, учтём тот факт, что синус функция является нечётной функцией. Имеем: sinα - sin (3 * α) = 2 * sin (½ * (α - 3 * α)) * cos (½ * (α + 3 * α)) = - 2 * sinα * cos (2 * α); cosα - cos (3 * α) = - 2 * sin (½ * (α + 3 * α)) * sin (½ * (α - 3 * α)) = 2 * sin (2 * α) * sinα; 1 - cos (4 * α) = 2 * sin² (2 * α). Подставим найденные выражения на свои места. Тогда, Т = ((-2 * sinα * cos (2 * α)) / (2 * sin (2 * α) * sinα)) * (2 * sin² (2 * α)) = (-cos (2 * α) / sin (2 * α)) * (2 * sin² (2 * α)) = (-cos (2 * α) * 2 * sin² (2 * α)) / sin (2 * α) = - 2 * sin (2 * α) * cos (2 * α). Применяя формулу sin (2 * α) = 2 * sinα * cosα (синус двойного угла), завершим упрощение: Т = - sin (2 * 2 * α) = - sin (4 * α).

Ответ: Если данное выражение имеет смысл, то оно равно - sin (4 * α).