1) моторная лодка по течению проплыла 10 км, и против течения 12 км на весь путь ушло 2 часа какова скорость лодки если известно, что скорость течения реки 3 км/час 2) числитель дроби больше знаменателя на 2 если к этой дроби прибавить противоположную дробь то выйдет 130/63. Найдите первоначальную дробь.

1. Обозначим собственную скорость лодки х км/ч.

По течению реки скорость лодки была (х + 3) км/ч, против течения (х - 3) км/ч.

Т. к. по течению лодка прошла 10 км, а против течения 12 км, составим уравнение:

2 = 10 / (х + 3) + 12 / (х - 3);

(2 (х + 3) (х - 3) - 10 (х - 3) - 12 (х + 3)) / ((х + 3) (х - 3)) = 0;

2 х² - 18 - 10 х + 30 - 12 х - 36 = 0 при условии, что х ≠ 3, х ≠ - 3;

2 х² - 22 х - 24 = 0;

х² - 11 х - 12 = 0.

По теореме Виета находим х₁ = - 1 (не подходит, т. к. скорость не может быть отрицательной);

х₂ = 12.

Ответ: собственная скорость лодки 12 км/ч.

2. Пусть заданная дробь а/b. Тогда по условию:

а - b = 2;

а/b + b/а = 130/63.

Выразим а из первого уравнения и подставим во второе.

а = b + 2;

(a ² + b ² ) / ab = 130/63;

63 (a ² + b ² ) = 130ab;

63 (4 + 4b + b ² + b ² ) = 130 (2 + b) b;

252 + 252b + 126b ² = 260b + 130b ² ;

4b ² + 8b - 252 = 0;

b ² + 2b - 63 = 0;

D = 4 + 252 = 256 = 16 ² ;

b ₁ = ( - 2 - 16) / 2 = - 18/2 = - 9;

b ₂ = ( - 2 + 16) / 2 = 14/2 = 7.

При b = 7 a = 2 + 7 = 9.

Полученная дробь 9/7.

При b = - 9 a = 2 - 9 = - 7.

Полученная дробь ( - 7) / ( - 9) = 7/9. Этот вариант не подходит, т. к. числитель должен быть больше знаменателя.

Ответ: 9/7.