Докажите что при всех положительных значениях а, в и с верно неравенство 8 авс< = (а+в) (в+с) (с+а)

По условию задачи a, b, c > = 0.

Заметим:

(a - b) ^2 > = 0, a^2 + b^2 - 2 * a * b > = 0, a^2 + b^2 > = 2 * a * b и

(a + b) ^2 =

=a^2 + b^2 + 2 * a * b > = 2 * a * b + 2 * a * b = 4 * a * b.

Аналогично, получаем неравенства:

(b + c) ^2 > = 4 * b * c,

(a + c) ^2 > = 4 * a * c.

Так как a, b, c > = 0, то можем перемножить полученные неравенства:

(a + b) ^2 * (b + c) ^2 * (a + c) ^2 > = 4 * a * b * 4 * b * c * 4 * a * c = 64 * a^2 * b^2 * c^2.

Так как a, b, c > = 0, то можем взять корень каждой части неравенства:

(a + b) * (b + c) * (a + c) > = 8 * a * b * c.