Найдите наименьшее значение выражения: р^2 - 16pq + 64q^2 - 12

Чтобы найти наименьшее значение функции, необходимо найти ее производную, точки экстремума, а после этого интервалы возрастания убывания. Однако в данном случае можно действовать по другому. Не сложно увидеть, что функция р^2 - 16pq + 64q^2 - 12 содержит квадрат разности, а именно р^2 - 16pq + 64q^2:

р^2 - 16pq + 64q^2 = (p - 8 * q) ^2.

То есть:

р^2 - 16pq + 64q^2 - 12 = (p - 8 * q) ^2 - 12.

Наименьшее значение, которое может принимать квадрат функции, это 0. Следовательно, наименьшее значение данной функции равно 0 - 12, то есть 12.

Ответ: 12.