Sin^2x-8sinxcosx+7cos^2x=0

Решим данное тригонометрическое уравнение sin²x - 8 * sinx * cosx + 7 * cos²x = 0, хотя об этом явного требования в задании нет. Предположим, что cos²x ≠ 0 и разделим обе части данного уравнения на cos²x. Тогда, используя формулу tgα = sinα / cosα, можно переписать данное уравнение в виде: tg²х - 8 * tgх + 7 = 0. Введём новую переменную у = tgх. Тогда получим следующее квадратное уравнение: у² - 8 * у + 7 = 0. Это квадратное уравнение имеет два различных корня, так как его дискриминант D = (-8) ² - 4 * 1 * 7 = 64 - 28 = 36 > 0. Вычислим их: у₁ = (8 - √ (36)) / 2 = (8 - 6) / 2 = 1 и у₂ = (8 + √ (36)) / 2 = (8 + 6) / 2 = 7. Исследуем каждый корень по отдельности. А) При у = 1, имеем tgх = 1. Это простейшее тригонометрическое уравнение имеет следующие две серии решений: х = π/4 + 2 * π * m, где m - целое число и х = π/4 + 2 * π * n, где n - целое число. Б) При у = 7, имеем tgх = 7. Это простейшее тригонометрическое уравнение имеет следующее решение: х = arctg7 + π * k, где k - целое число.

Ответ: х = π/4 + 2 * π * m; х = π/4 + 2 * π * n и х = arctg7 + π * k, где m, n и k - целые числа.