При каких значениях а неравенство х^2 - (2a+2) x+3a+7>0 выполняется при всех значениях х?

Левую часть данного неравенства обозначим через L. Для того, чтобы можно было ответить на поставленный вопрос задания, нужно сначала выделить полный квадрат из квадратного трёхчлена L = х² - (2 * a + 2) * x + 3 * a + 7, расположенного в левой части данного неравенства. Имеем L = х² - 2 * х * (а + 1) + (а + 1) ² - (а + 1) ² + 3 * a + 7. Согласно формулам сокращенного умножения: (a - b) ² = a² - 2 * a * b + b² (квадрат разности) и (a + b) ² = a² + 2 * a * b + b² (квадрат суммы), имеем L = (х - (а + 1)) ² - (а² + 2 * а * 1 + 1²) + 3 * а + 7 = (х - а - 1) ² - а² - 2 * а - 1 + 3 * а + 7 = (х - а - 1) ² - а² + а + 6. Ясно, что при любых х и а выражение (х - а - 1) ² ≥ 0. Следовательно, для того, чтобы выполнялось условие L > 0, должно выполняться неравенство - а² + а + 6 > 0 или а² - а - 6 < 0. Решая последнее неравенство методом интервалов, находим его решение а ∈ (-2; 3).

Ответ: а ∈ (-2; 3).