При каких значениях m неравенство mx^2-9mx+5m+1>0 выполняется при всех действительных значениях x

1. При нулевом значении первого коэффициента получим верное неравенство для любых значений переменной:

m = 0;

mx^2 - 9mx + 5m + 1 > 0;

0 * x^2 - 9 * 0 * x + 5 * 0 + 1 > 0; 1 > 0.

m = 0 - подходит.

2. При отрицательных значениях m ветви параболы направлены вниз, следовательно, условие задачи не может быть выполнено.

3. При положительных значениях m ветви направлены вверх, и неравенство будет выполняться для всех значений х, если дискриминант меньше нуля:

D = (9m) ^2 - 4m (5m + 1) = 81m^2 - 20m^2 - 4m = 61m^2 - 4m;

61m^2 - 4m < 0; 61m (m - 4/61) < 0; m ∈ (0; 4/61).

Ответ: [0; 4/61).