Натуральные числа m и n такие, что (4m-n) (n+m) = 6m2. Доказать, что n делиться на m.

Проведем преобразования исходного уравнения:

(4 * m - n) * (n + m) = 6 * m^2,

4 * m * n + 4 * m^2 - n^2 - n * m = 6 * m^2,

3 * n * m - n^2 = 2 * m^2.

Разделим обе части уравнения на m^2:

3 * (n / m) - (n / m) ^2 = 2,

(n / m) ^2 - 3 * (n / m) + 2 = 0.

Пусть x = n / m. Тогда:

x^2 - 3 * x + 2 = 0.

Заметим, что 2 * 1 = 2 и 2 + 1 = 3. Из теоремы Виета вытекает, что корни этого уравнения:

x = 1 и x = 2.

Если x = 1, то n / m = 1, n = m.

Если x = 2, то n / m = 2, n = 2 * m.

В обоих случаях n делится на m, что и требовалось доказать.