Сумма первых 13 членов арифметической прогрессии равна 130. Известно, что четвёртый, десятый и седьмой члены этой прогрессии, взятые в указанном порядке, представляют собой три последовательных члена геометрической прогрессии. Найти первый член арифметической прогрессии, если известно, что он меньше 50.

Пусть последовательность а_n, где n = 1, 2, ..., 13, та арифметическая прогрессия, о которой идёт речь в задании. Тогда, согласно условия задания: S₁₃ = 130. Используя формулу S_n = (2 * a₁ + d * (n - 1)) * n / 2, где d - шаг арифметической прогрессии, имеем S₁₃ = (2 * a₁ + d * (13 - 1)) * 13 / 2 = 130 или a₁ + 6 * d = 10. Согласно формуле a_n = a₁ + d * (n - 1), имеем a₇ = a₁ + d * (7 - 1) = a₁ + 6 * d = 10. Согласно другого условия задания, a₄, a₁₀, a₇ представляют собой три последовательных члена геометрической прогрессии. Тогда, характеристическое свойство геометрической прогрессии позволяет утверждать, что a₄ * a₇ = (a₁₀) ². Учитывая a₇ = 10, получим: 10 * a₄ = (a₁₀) ². Теперь воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии, которое в общем случае выражается формулой a_m = (a_{m - k} + a_{m + k}) / 2, где m - k > 0 и m + k ≤ n. При m = 7 и k = 3, имеем a₇ = (a₄ + a₁₀) / 2. Учитывая a₇ = 10, получим: 10 = (a₄ + a₁₀) / 2 или a₄ + a₁₀ = 20, откуда a₄ = 20 - a₁₀. Подставим это выражение в последнее равенства п. 2. Имеем: 10 * (20 - a₁₀) = (a₁₀) ² или (a₁₀) ² + 10 * a₁₀ - 200 = 0. Получили квадратное уравнение относительно a₁₀. Оно имеет два различных корня, так как его дискриминант D = 10² - 4 * 1 * (-200) = 100 + 800 = 900 > 0. Вычислим их: (a₁₀) ₁ = (-10 - √ (900)) / 2 = - 20 и (a₁₀) ₂ = (-10 + √ (900)) / 2 = 10. Исследуем каждый корень (случай) по отдельности. Случай, когда a₁₀ = - 20. Тогда, учитывая a₇ = 10, имеем: a₁ + 6 * d = 10 и a₁ + 9 * d = - 20. Решая совместно эти уравнения, найдём: d = - 10 и a₁ = 70. Обратимся к условиям задания. Найденное значение a₁ = 70 противоречит условию о том, что первый член арифметической прогрессии меньше 50. Значит, в этом случае имеем дело с побочным корнем. Случай, когда a₁₀ = 10. Тогда, учитывая a₇ = 10, имеем: a₁ + 6 * d = 10 и a₁ + 9 * d = 10. Решая совместно эти уравнения, найдём: d = 0 и a₁ = 10. Поскольку a₁ = 10 < 50, то a₁ = 10 является искомым решением задания.

Ответ: 10.